A
makroökonómiában
a fogyasztás megmagyarázása kezdettől fogva kulcsszerepet játszik.
Keynes
(1936) fogyasztója azonban kortalan volt, aki fogyasztási határhajlandósága szerint költötte folyó jövedelmét folyó fogyasztására. A valóság pontosabb leírására törekedve, ezt a képződményt váltotta fel az
életciklus
fogyasztója, aki fiatalkori megtakarításából fedezi öregkori fogyasztását [
Modigliani–Brumberg
(1954)].
A modellcsalád legegyszerűbb kifejtésénél a következő technikai feltevésekkel élünk.
1. A reprezentatív egyén
L
évesen kezd el dolgozni,
R
+1 évesen megy nyugdíjba, és
D
évesen hal meg (
L
<
R
<
D
).
2. Minden gazdasági mennyiséget változatlan áron mérünk: „nincs infláció”.
3. A dolgozó teljes keresetének (
w
) egy meghatározott
s
hányadát minden évben megtakarítja, és megtakarítását nyugdíjas korában feléli. Mivel a termékek romlandók, fizikai felhalmozás lehetetlen.
4. A megtakarítások nem kamatoznak.
5. A kereset időben állandó.
6. A fogyasztás időben állandó.
Erre az alapesetre vonatkozik az
1. tétel.
Az 1–6. feltételek esetén a megtakarítási hányad kortól független és a szolgálati idő és a felnőttkor hányadosa
:
s
= (
D – R
)/(
R – L
+ 1).
Valóban, az
R
–
L
+ 1 éven keresztül
ws
mennyiséget megtakarítva
D
–
R
éven keresztül (1 –
s
)
w
mennyiség fogyasztható, s az adódó egyenletet átrendezve kapjuk a megtakarítási hányadot.
Az
1. tétel
eredményét a következő példán szemléltetjük.
1. példa.
L
= 20,
R
= 59,
D
= 79. Ekkor
s
= 1/3.
A valósághoz közelítve néhány feltevést általánosíthatunk:
4’. A megtakarítások időben állandó,
r
– 1 kamatlábbal kamatoznak.
5’. A kereset az életkorral évente
g
– 1 ütemben nő.
6’. A fogyasztás az életkorral évente
h
– 1 ütemben nő.
Azért nem az ütemekkel, hanem a
tényezők
kel –
r, g
,
h
– számolunk, mert így sokkal egyszerűbbek lesznek a képleteink.
Ismert, hogy időben eloszló, kamatozó mennyiségek esetén a
leszámítolt jelenértékkel
kell számolni. Például ha előre pontosan ismert a {
w
L
,..., w
R
}
életkereseti pálya
, ha az egyénnek korlátlan megtakarítási és hitelfelvételi lehetősége van, és a kamatláb független a vagyoni helyzettől, akkor ezzel a keresetfolyammal éppen
mennyiségű kezdeti tőke ekvivalens. (Valóban, ha ebből a tőkéből az
i
-edik évben a
w
i
r-i
kezdeti tőkerész
ri
kamatos kamattényezőkkel bővített értékét vesszük ki,
w
i
-t kapunk.)
Esetünkben a fogyasztás és a kereset (születésre leszámítolt) jelenértéke azonos:
.
Behelyettesítve a
c
j
=
c
L
hj–L
és
w
i
=
w
L
gi–L
összefüggéseket a jelenérték-azonosságba, adódik a
2. tétel.
Az 1’–6’. feltételek esetén a fogyasztás kezdőértéke
.
Megjegyzés.
A mértani sorozat összegképlete segítségével a szummajel eltüntethető, s a képlet zárt alakban is felírható:
.
A
2. tétel
eredményét a következő példán szemléltetjük.
2. példa.
L
= 20,
R
= 59,
D
= 79,
w
L
= 1,
r
= 1,04,
g
= 1,02,
h
= 1. Ekkor
c
L
= 1,129.
Ha figyelembe vesszük, hogy az ember élettartama bizonytalan, akkor a túlélési valószínűségek szerepeltetésével általánosíthatjuk a képleteinket [vö.
Bod
(1992)]. Tegyük föl, hogy annak valószínűsége, hogy egy újszülött megéri a
k
-adik születésnapját,
l
k
. A
2. tétel
jelenértékeit
várható
jelenértékekre általánosítva, adódik a
3. tétel.
Az 1’–6’. feltételek esetén a fogyasztás kezdőértéke
.
A
3. tétel
eredményét a magyar túlélési adatokkal lehetne szemléltetni, s akkor kiderülne, hogy a hatékony életbiztosítás és életjáradék bevezetése milyen nagy mértékben képes a fogyasztást növelni.
Eddig szinte megfeledkeztünk a gyerekkorról, csupán
L
szerepeltetésével jeleztük, hogy a valódi történet nem az egyén munkába lépésével kezdődik. Vagy a fogyasztás állandóságát (vagy állandó ütemű növekedését) kimondó 6. (illetve 6’.) feltevést kell módosítani, vagy a gyerekkori fogyasztást hitelből fedezettnek kell tekinteni. Válasszuk az utóbbi utat. Ekkor a fogyasztási képletekben
c
L
helyett
c
0 szerepel, és a nevezőben álló összeg alsó határa
L
helyett 0:
.
Itt megelégszünk az
1. példa
átfogalmazásával.
3. példa.
Gyerekkori fogyasztást hitelből finanszírozzák:
L
= 20,
R
= 59,
D
= 79. Ekkor
s
= 1/2.
