Az állandósult állapotok elemzésénél nem kellett foglalkozni a rendszer állapotváltozásaival, az igazi dinamikával. Most rátérünk a dinamikus elemzésre.

Rögtön komoly nehézséggel találjuk szembe magunkat: egyrészt egy adott időszakban született egyénnek az optimális fogyasztási pályája meghatározásához ismernie kell az életpályája során tapasztalandó kamatlábakat, másrészt az egy időszakra vonatkozó fogyasztási (és megtakarítási) döntéseknek egyensúlya határozza meg az megfelelő kamatlábat. Kettéosztjuk az elemzést aszerint, hogy a kamatlábra vonatkozó várakozások racionálisak vagy naivak.

Modellcsaládunkban a racionális várakozások feltevése azt jelenti, hogy a kamatlábakra vonatkozó feltevések összhangban vannak az egyensúlyi feltételekkel. Tehát először tetszőleges kamatlábpályát feltételezve, meghatározzuk az egyes egyének és korosztályok feltételes optimális fogyasztási pályáit, majd felírjuk az aggregált egyensúlyi feltételeket. Az így adódó implicit differenciaegyenlet-rendszert megoldjuk a kamatlábakra. Általában a t -edik időszaki aggregált megtakarítási egyensúlyból adódó r _t+D kamatláb mintegy két emberéletnyi, korábbi kamatlábpálya { r _{t + D –1},..., r _{t-D +1}} függvénye – ennek abszurditásával később foglalkozunk.

A dinamikus rendszerek pályáit általában nem lehet zárt alakban megoldani. Ezért különösen fontos a rendszerek kvalitatív vizsgálata, mindenekelőtt, hogy stabil-e a rendszer. A legegyszerűbb stabilitási fogalom durván szólva azt mondja ki, hogy az állandósult állapot közeléből induló pályák mindvégig közel maradnak az állandósult állapothoz, és hosszú távon konvergálnak is hozzá.

Mit mondhatunk rendszerünk stabilitásáról?

5. tétel [ Molnár–Simonovits (1996)] . Tegyük föl, hogy a gyerekek és a nyugdíjasok keresete nulla. Racionális várakozások esetén a) az aranyszabály-állapot instabil és b) a pozitív kamatlábú kiegyensúlyozott állandósult állapot is instabil.

Numerikus számolások alapján reális paraméterértékek esetén azt sejtjük, hogy az instabilitás a negatív kamatlábú kiegyensúlyozott állapotra is érvényes.

Sejtés. Az 5. tétel feltételei esetén negatív kamatlábú kiegyensúlyozott állandósult állapot is instabil.

Módosítjuk az 1. ábra egyes adatait: λ = 0,5; β = 0,99; R = 51: r _B = 1,024094. A számítógéppel rajzolt 2. ábráról látható, hogy az r _–141 = ... = r _–1 = r _F aranyszabály- vagy kiegyensúlyozott állapotból induló pálya berezeg. Az áttekinthetőség kedvéért 141 helyett csupán 20 kezdőértéket tüntetünk föl.

Már Samuelson észrevette, hogy a végtelen számú egyenletből és változóból álló modellben „több” ismeretlen van, mint egyenlet, tehát az egyenletrendszert általában nem lehet egyértelműen megoldani. (További bonyodalmat okoz, hogy adott kezdeti feltételek mellett is tipikusan több megoldása van az implicit egyenletünknek.) A racionális várakozások hívei fokozatosan felismerték, hogy modelljeikben ugyanakkor felesleges kezdeti feltételek is vannak: a rendszer pályája határozatlan . Rövidre zárva a meghatározatlanságból fakadó bonyodalmakat, Gale (1973) II. rész az indulást kitolta az idők kezdetéig.

2. ábra. Instabilitás racionális várakozásnál

Gale követői felismerték, hogy a racionális várakozások bevezetése szükségszerűen vezet határozatlansághoz. Laitner (1981) megkülönböztet történelmi és nem történelmi kezdeti értéket , esetünkben a megtakarítási állomány vektorát (vagy a régi kamattényezőket), illetve az új kamattényezőket. Ugyanakkor éppen a racionális várakozásoknál fellépő meghatározatlanságot használja fel az instabilitás kiküszöbölésére. Ha az instabil sajátértékek és a nem történelmi kezdeti értékek száma azonos (numerikus vizsgálatok szerint a szóban forgó feltétel gyakran teljesül), akkor az állandósult állapotok közelében minden történeti kezdeti értékhez választhatunk olyan nem történeti kezdeti értéket, hogy a keletkező pálya stabil legyen. Ugyanakkor ez a megoldás rendkívüli számítási pontosságot feltételez, ez nem követelhető meg egy közönséges szereplőtől, ezért ezt a megoldást nem tartom meggyőzőnek.