Négy esetet vizsgálunk, bár természetesen más feltételek is lehetségesek:

– 0 változat: a tőke teljes összegét a biztosított maga használja fel, a túlélő hozzátartozóra semmit sem hagy ( δ ₁ = δ = 0),

– tb-változat: a járadékot úgy kell megállapítani, hogy a túlélő házastárs 1 évig a járadék felében, ettől kezdve az eredeti jogosult életjáradékának 20 százalékában részesedhessen élete végéig ( δ ₁ = 0,5 és δ = 0,2),

– 50 százalékos: ebben az esetben a túlélő házastárs élete végéig 50 százalékos járadékot kaphat ( δ ₁ = δ = 0,5),

– teljes összegű: ha a túlélő ugyanazt a járadékot kapja, mint az elsődleges jogosult, a járadék a teljes folyósítási időszakban azonos lesz ( δ ₁ = δ = 1) .

Legyen a nyugdíjazáskor y ₀ = 57 és x ₀= 62, és mindkét érintettet nyugdíjképesnek tartjuk. Feltehető persze, hogy mire a két életre szóló járadék ténylegesen nagyobb számban alkalmazásra kerülne – a 2020-as években – a nyugdíjba vonulási életkor – elsősorban a nők esetében – ennél már némileg magasabb lesz. A kezdő életkorok szempontjából ennél is jelentősebb, hogy mekkora a szokásos és a tényleges korkülönbség a házastársak között. Ezért is hangsúlyozzuk, a bemutatott példával szemben a nyugdíjba vonulás időpontjának és a nyugdíjképességnek nem kell azonos naptári évre esnie a két házastárs esetében. Itt a jelenlegi körülményeknek inkább megfelelő életkorokat tekintjük kezdőértéknek, de a számítás más esetekre is ugyanígy elvégezhető lenne.

Először a nemek szerinti tényleges halandóság alapján számítható élettartamokat vizsgálhatjuk a két életre szóló járadék alkalmazása esetén, a számítás eredményét a 3. táblázat foglalja össze.

Ugyanezen mutatók értéke kiszámítható az átlagolt halandóság szerint is (4. táblázat ), s nem meglepő, hogy ebben az esetben az előzőektől jelentősen eltérő értékeket kapunk.

Érdemes megfigyelni, hogy a kétféle halandóság alapján számított életkilátási mutatók még véletlenül sem esnek egybe, és az adott korfeltételek mellett a tényleges várható folyósítási idő 0,8 évvel magasabb, mint az, amelynek majd a járadékot kell meghatároznia. Ha a házastársak életkora fordított, tehát a szokásokkal ellentétben a férj fiatalabb a feleségénél (és eltekintünk attól, hogy nyugdíjképes-e), a nemek szerint számított tényleges halandósággal a később meghaló házastárs várható élettartama és így a két életre szóló járadék folyósítási ideje csak 22,64 év lenne, míg az átlagolt halandóság alapján számított érték ettől persze nem változik meg. Ezért az átlagolt halandóság alkalmazása – amelyre szükségszerűen került sor a korábbikakban kifejtett okok miatt – egyúttal jelentős ellentmondásokat is hordoz a biztosításban.

Az ellentmondás első közelítésben abból adódik, hogy amennyiben a járadékot 23 évre számítva határozza meg a rendszer, a tényleges folyósítás azonban ennél várhatóan 1 évvel hosszabb, a rendszer előbb-utóbb fedezetlen, illetve tőkehiányos lesz, és tönkremegy. Valójában azonban a probléma ennél bonyolultabb, s ez abban jelentkezik, hogy eltérő irányú érdekeltségek keletkeznek a járadékszolgáltatás iránt.

Vizsgáljuk most a különböző esetekben elérhető járadékot ( 5. táblázat ), amelyet előírás szerint az átlagolt halandóság alapján kell meghatározni!

Az 5. táblázatban feltüntetett mutatók azt fejezik ki, hogy a számítható járadék jelenértéke hogyan viszonyul a befizetett tőkéhez. Csak emlékeztetünk rá, a 0 változat a két életre szóló járadék azon speciális esete, amikor a járadék valójában csak a biztosított életére szól, tehát a tiszta életjáradék. Ha egy férfi 62 éves korában tiszta életjáradékot választ, ténylegesen várható élettartama alapján csak tőkéjének 85,12 százalékát kapja vissza (a költségektől el is tekintve), mert várható élettartama jóval kevesebb, mint amennyivel a járadékát számítani lehet. A nők esetében persze fordítva van: az 57 évesen nyugdíjba kerülő – mivel várhatóan még 22 évig él, míg járadékát az átlagolt halandóság szerint kevesebb mint 20 évre számítják – valójában többet kap majd, mint amennyit befizetett. Ez a kötelező nyugdíjrendszerek mindig érvényesítendő olyan szolidaritása, amely még a magánnyugdíjrendszerbe is – teljesen elfogadható módon – átkerült. De egyszerűen úgy is fogalmazhatnánk: a rendszer a nők számára szükségszerűen „hatékonyabb”, a férfiak számára „veszteséges” lesz. Mindezt igazságosnak is tarthatjuk, ha figyelembe vesszük, hogy a nők jövedelme átlagosan alacsonyabb, így az aktív időszakban felhalmozott tőkéjük is alacsonyabb, s ezért a járadékuk összege is kevesebb lesz. A halandósági-demográfiai kiegyenlítődés tehát jövedelmi szolidaritást jelent.

Hogyan alakulnak a járadékmegtérülések, ha a két életre szóló járadék ténylegesen tartalmaz a túlélő hátramaradott számára járadékhányadot? Megállapítható, amilyen mértékben a férfiak behozzák jogosultságukba feleségüket, járadékuk hatékonysága emelkedik, míg annak összege – a megemelkedő várható túlélési élettartam miatt – persze éppen ennek arányában csökken. A közölt mutatókból látható, ha a feleség részesíti férjét özvegyi járadékban arra az esetre, ha túléli őt, a szóló életjáradékban megszerzett többlethatékonyságát a hátramaradotti hányad függvényében fokozatosan elveszíti. A járadék összegére vonatkozóan persze nem fordított ez az eset sem: a két életre szóló járadék választása és a hányad emelése a nők esetében is egyre alacsonyabb járadékösszeget jelent.

Éppen ebben rejlik a rendszer biztosításmatematikai ellentmondása. A férfiak számára előnyös lesz a két életre szóló járadékot választani, mert járadékuk hatékonyságát ezzel az átlagszintre emelhetik, vagy legalább közelíthetik ahhoz, s ez össze is illik a társadalmi szemlélettel. A nők számára viszont ez előnytelen, nekik nem érdemes ilyen járadékot választani, s a társadalom is úgy gondolja: a férfiak ritkán élik túl feleségüket, ráadásul a nők jövedelme, felhalmozása, nyugdíja is kisebb, felesleges tehát ezt még tovább csökkenteni egy „valószínűtlen” eset esetleges bekövetkezési lehetősége miatt. Ha viszont a választás lehetősége ilyen egyoldalú érdekeltségen alapul, az egyensúly szükségszerűen felbomlik, mert a kérdéses ellátást a férfiak sokkal nagyobb számban fogják választani, mint a nők. Ez viszont hosszabb távon az ellátást finanszírozó pénztárakat és biztosítókat veszteségessé tenné, ellehetetlenítené.

Mindez közismert az életbiztosítások gyakorlatában, s ott számolnak is vele: életjáradék-biztosítást inkább olyanok kötnek, akik ténylegesen hosszabb életűek, mint a megfelelő korban átlagos megélési valószínűségekből adódna, és fordítva: tiszta halálesetre szóló biztosítást választók nagyobb eséllyel halnak meg, mint az átlagos halandóság szerint. Ezért egy egyéni szerződésen alapuló magánbiztosításban nem is képzelhető el olyan életjáradék, amely átlagolt halandóságra épül, mert az ezen alapuló biztosítási szerződést a férfiak egyáltalán nem kötnék meg, s amennyiben a kockázatközösség már csak nőkből állna, a biztosító tönkremenne a számítottnál sokkal tovább tartó kifizetések miatt.