A nyugdíjak egyenlőtlenségének csökkenése tehát részben a nyugdíjak megállapításának alapjául szolgáló jövedelmek egyenlőtlenségének a csökkenésével magyarázható. A magyarázat további elemeként a nyugdíjakat – közgazdasági tartalmuknak megfelelően – járadékra, valamint támogatásokra kívánjuk felbontani a következő modell segítségével.

A nyugdíj részben az életpálya során megtakarított jövedelmekből képzett pénzügyi vagyon hozadékának tekinthető – ezt a komponenst nevezzük a továbbiakban járadéknak. A biztosítási elvet megjelenítő járadék tehát az egyes egyén életpályája során szerzett jövedelem függvényében határozható meg. A nyugdíjaknak további összetevője a szociális támogatás, amelynek egyetlen funkciója a jövedelmi különbségek csökkentése. A hipotézist a következőképpen írhatjuk fel, amennyiben y _i jelöli a nyugdíjakat, r _i az életkeresetek alapján megállapított járadékokat és s _i a támogatás összegét:

és feltevésünk szerint r _i > 0, míg s _i előjele meghatározatlan: támogatás esetén pozitív, elvonás esetén negatív értéket vesz fel. A felbontás alapelve szerint a járadékok az életkeresetek függvényében határozódnak meg, ezért r _i = f(x _i ) , ahol x _i -vel jelöltük az életkereseteket.

A felbontást az alábbi kis modell alapján végezzük el. A járadékok és a támogatáskomponensek elkülönítéséhez tett feltevések a következők.

1. feltevés. A támogatások összege zérus: ezzel a támogatást olyan jövedelem-újraelosztó sémaként képzeljük el, mely a járadékok egyedek közötti (progresszív) átcsoportosításával csökkenti az egyenlőtlenség mértékét. A feltevésből adódóan ez leginkább olyan progresszív adórendszerként képzelhető el, amelynél az alacsonyabb jövedelemkategóriák esetében negatív, magasabb jövedelemkategóriák esetén pozitív adókulcsok érvényesülnek, s az átlagos jövedelemelvonás mértéke zérus. E feltevés következménye, hogy a járadékok átlaga (illetve a teljes járadéktömeg) megegyezik a tényleges nyugdíjak átlagával (illetve a teljes nyugdíjtömeggel).

2. feltevés. A járadékok és az életkeresetek egyenlőtlensége egyenlő. Ez a feltevés azt a célt szolgálja, hogy a nyugdíjak (2) alatti felbontása során a két komponens „ortogonális” legyen tartalmát tekintve: a támogatások funkciója pusztán az egyenlőtlenség csökkentése: az életkeresetek és a nyugdíjak közötti egyenlőtlenségi különbségek mind a támogatások jelenlétéből fakadnak. A járadékok mindössze azt a leképezést határozzák meg, ahogyan az adott életkereset-értékből a hozzá tartozó nyugdíjat megállapítanák az egyenlőtlenség csökkenését célzó támogatások teljes hiányában .

E feltevések segítségével a feladatot formálisan a következők szerint írhatjuk fel. Jelölje ε (.) az egyenlőtlenségi mutatót, amelyet a teljes jövedelmi, illetve nyugdíjvektorok esetén értelmezünk. Jelölje továbbá x az életkeresetek vektorát. A járadékokat az életkeresetek függvényében írjuk fel: r _i = f ( x _i ) s az f (.) függvényről feltesszük, hogy monoton nem csökkenő. Ez mindössze azt az összefüggést fogalmazza meg, hogy a járadékok megállapításának alapja az életút során szerzett jövedelem, amelyet az életkeresetekkel közelítünk. A közgazdasági értelmezhetőség megkívánja továbbá, hogy a keletkező járadékok értéke pozitív legyen. E feltevések alapján azon monoton nem csökkenő f függvények lehetnek alkalmasak a dekompozíció elvégzésére, amelyek kielégítik az alábbi relációkat:

1y = 1f ( x )

f ( x _min) ≥ 0,

ahol az f ( x ) vektort úgy kapjuk az x vektorból, hogy annak minden egyes elemére alkalmazzuk az f ( . ) leképezést. Az 1 az összegező vektort jelöli.

A feladat megoldása során figyelembe kellett vennünk, hogy az egyedi életkeresetekre vonatkozó adatok csak az új nyugdíjak esetében álltak rendelkezésre. A nyugdíjak esetében az egyes y _i nyugdíjértékekhez nem tudtunk megfelelő x _i életkereseteket rendelni. Ez azt jelenti, hogy a fentiekben specifikált feladatban nem áll rendelkezésünkre az x vektor minden egyes eleme. Az új nyugdíjak alapján azonban képet kaphatunk arról, hogy milyen mértékű egyenlőtlenség jellemzi az életkereseteket. Ezt az értéket tekinthetjük ε ( x ) közelítésének (jelöljük a továbbiakban ε_x -szel).

A feladat megoldásához ismerni kell az egyes életkereset-értékeket is, a megoldás előtti további módszertani kérdésként az merült fel tehát, hogy valamilyen módon meg kell becsülnünk a megfelelő életkereset-adatokat, vagy a feladatot kell a fentitől eltérő formában megfogalmazunk. Mi az utóbbi utat követtük.

Az új nyugdíjak esetében rendelkezésre álltak mind az életkereset-, mind a nyugdíjadatok. Ezek vizsgálata arra utal (3. ábra), hogy a két változó között inhomogén lineáris kapcsolat van. (Ez nem azt mondja, hogy az új nyugdíjak arányosak az életkeresetekkel, hanem csak azt, hogy azok, akiknek az életkeresete mondjuk 10 százalékkal magasabb, átlagosan 6,7 százalékkal, illetve 8,2 százalékkal magasabb új nyugdíjra számíthatnak, és ez az arány körülbelül minden szinten egyforma.) Ezt az adatokkal alátámasztott függvényformulát most hipotetikusan kiterjesztjük az új nyugdíjakról a nyugdíjakra, erről szól a következő feltevés.

3. ábra . Új nyugdíjak az életkeresetek függvényében lineáris trend illesztésével, 1988, 1997

3. feltevés. Az életkeresetek és a nyugdíjak között inhomogén lineáris (röviden: lineáris) függvénykapcsolat van.

E feltevésből kiindulva a következő gondolatmenetet követhetjük.

A 3. feltevés alapján lehetővé vált, hogy a fenti, (3) alatt felírt feladatot az x vektor adatainak hiányában pusztán a nyugdíjak adatai, azaz y függvényeként írhassuk fel. Tegyük fel a 3. feltevés alapján, hogy a nyugdíjak és az életkeresetek között h (.) lineáris leképezés létesít kapcsolatot, azaz

y _i = h ( x _i ).

Jelölje l (.) a h függvény inverzét, ekkor az életkereseteket felírhatjuk a nyugdíjak lineáris függvényeként:

x _i = l ( y _i ).

Az l (.) függvény segítségével a korábbiakban megfogalmazott feltételi egyenleteket pusztán a nyugdíjak függvényeként írhatjuk fel, hiszen a járadékok, amelyek feltevéseink szerint az életkeresetek függvényei, az l (.) függvény segítségével a nyugdíjak függvényeként írhatók fel:

r _i = f ( x _i ) = f [ l ( y _i )] = g ( y _i ).

A g (.) függvény a nyugdíjak monoton növekedő, konvex függvényeként határozza meg a járadékok értékét. Így azon g függvény lehet az alapja a nyugdíjak járadékokra és támogatásokra történő dekompozíciójának, amely kielégíti az alábbi egyenleteket:

1y = 1 g ( y )

g ( y _min) ≥ 0 .

A felbontás egyértelmű meghatározásához további feltevésekre és/vagy az adatokból nyerhető információkra van szükségünk, hiszen nyilvánvaló, hogy az (4) alatti feltételeket számos g függvény teljesíteni tudja. A leginkább megszorító korlátot elsősorban a nemnegativitási korlát jelenti: a g függvénynek kellően progresszívnek kell lennie ahhoz, hogy ha a legkisebb nyugdíjhoz tartozó járadék értékét zérusra csökkenti (amely a maximális, adott g függvény mellett elérhető egyenlőtlenségi szintet eredményezi), akkor az egyenlőtlenség értéke meghaladja ε_x értékét.

A feladat numerikus megoldása során g függvénynek a hatványfüggvényt választottuk, s numerikus optimalizáló eljárással az alábbi feladat megoldásait kerestük:

s. t. 1y  =  1 g( y )

g ( y _min) ≥ 0

g ( y _i ) = by _i ^a .

Amennyiben az optimumban a célfüggvény értéke zérus, akkor feladat megoldása révén adódó felbontás teljesíti a korábban megfogalmazott feltevéseket.