Tételezzük fel, hogy ezek a halandósági valószínűségek jól jellemzik a biztosítotti sokaságot, tehát a nem és kor szerinti halandóság független a biztosítottak családi állapotától. Ez egyébként biztosan nem teljesen igaz, mert ismert, hogy idős korban a megözvegyültek halandósága némileg magasabb, mint a házasoké. Pontos adatokkal azonban erre vonatkozóan nem rendelkezünk, és a továbbiakban ettől a problémától el is tekintünk.

A két életre szóló járadék definíciója szerint: a nyugdíjba vonuló biztosított élete végéig és azon túl a megjelölt kedvezményezett – amennyiben túléli – élete végéig tart. A kedvezményezett járadéka a biztosított életjáradékának meghatározott hányada. A két életre szóló járadék választásáról, kedvezményezettjéről és a túlélő hozzátartozónak szánt hányad mértékéről a nyugdíjazáskor kell dönteni. Nem árt emlékeztetni arra: minél nagyobb a hozzátartozói ellátás induláskor megadható hányada, annál alacsonyabb lesz a jogosult járadéka. Ezért a magánnyugdíjrendszerben itt sem érvényesül a kollektív kockázatvállalás. (Jelezzük, hogy a továbbiakban a jogosult–kedvezményezett kapcsolatát házastársi viszonynak nevezzük, bár mint láttuk, a jogi definíció ennél annyival lazább, hogy a kedvezményezett – a jelenlegi szabályozás szerint – bárki lehet.)

A két életre szóló járadék biztosításmatematikai feltételeinek vizsgálatához először meg kell határozni, hogy hány évig él átlagosan a továbbélő házastárs. A vizsgálathoz rögzítsük, hogy éppen hány évesek valamelyikük nyugdíjazásakor, legyen ez és . Az első pillanatra talán meglepő, de a későbbiekből könnyen belátható: nincs kitüntetett szerepe annak, hogy éppen a férj, vagy a feleség készül-e nyugdíjba. Nyilvánvaló, hogy amennyiben a halál a nyugdíjazástól számított és év múlva következik be, a továbbélő házastárs kezdőponttól megélt éveit a

max( ; )

határozza meg. Ennek éppen = a valószínűsége ( = = 1). Ezek után bevezethetjük az

= max( , ), ≤ x ≤ T és ≤ y ≤ T

mátrixot az együttes járadék hosszának vizsgálatához (itt és a továbbiakban a sorok a feleség, az oszlopok a férj életkorát jelölik), valamint a

= (

mátrixot – a félévek itt kiesnek – annak meghatározásához, hogy meddig tart a túlélő házastársnak folyósítandó járadék.

Rögtön feltűnhet, hogy a az ( , ) kezdőponttól vett diagonális mentén egy negatív és egy pozitív részre válik szét, miközben a diagonális 0. Ez ugyanis éppen azokat az eseteket tartalmazza, amikor a házastársak azonos évben – a nyugdíjazástól azonos távolságra – halnak meg, így túlélésről nem beszélhetünk (vagy az csak egy itt figyelembe nem vett töredékév lenne). A diagonális alatt a feleség, a diagonális felett a férj továbbélésével számolhatunk.

A felbontás eredménye az és az mátrix azzal, hogy

= – és

, ha ≤ , egyébként 0,

, ha ≤ , egyébként 0.

Könnyen belátható az is, hogy a két életre szóló járadék szempontjából mindig csak az egyik mátrixnak van jelentősége: amennyiben a jogosult a férj, és a hátramaradó a feleség, csak az Y mátrixban kifejezett reláció érdekes a járadék szempontjából, mert ez azokat és csak azokat az eseteket mutatja, amikor feleség éli túl a férjét. A fordított eset szempontjából, ha a feleség a két életre szóló járadék választására jogosult nyugdíjba készülő, a vizsgálandó eseteket – amikor a férj túlélheti a feleségét – az X mátrix tartalmazza.

Az eddigiekből következik, hogy az

éppen azt a várható élettartamot jelöli, ameddig a járadékfolyósítás tart,

≤

≤

pedig a kedvezményezett hozzátartozó várható túlélési ideje években.

Visszatérve az E, X, Y mátrixokhoz, vizsgáljuk meg kissé részletesebben a mátrixok elemeit! Képezzük az E – Y és az E – X mátrixot. Vegyük észre, hogy az E – Y minden sora azonos, eltekintve a benne soronként szereplő -tól, és fordítva, E – X minden oszlopa egyforma, eltekintve az -től.

Az E – Y felírható úgy, mint:

.

Könnyen belátható, hogy akármilyen az x és y közötti reláció, mindkét eset ugyanarra az eredményre vezet:

.

És ugyanez hasonlóan E – X -re:

,

amelyből

adódik az egyszerűsítések után.

A keresett várható élettartamokra tehát a következő eredményt kapjuk:

A levezetés persze csupán egy természetes és triviális tényt igazolt, és semmilyen meglepő eredményre sem vezetett: a két életre szóló járadék folyósításának időtartalma a nyugdíjba menő várható élettartamának és házastársa várható túlélési idejének összege az adott életkorpárra vonatkozóan. Vagy másként fogalmazva: amennyivel nagyobb a várható élettartama a nyugdíjazáskor – és mindegy, hogy éppen melyikük megy nyugdíjba – a feleségnek, annyival kisebb az időtartamban értelmezett és években mért túlélési lehetősége a férjének, és fordítva.

Vezessük még be az előzőek mintájára az , és jelöléseket azon várható élettartamokra, amelyek megfelelnek a fenti fogalmaknak, de számításukban az az átlagolt halandóságból származik. (Felhívjuk a figyelmet arra, hogy bár a házastársak halandósága ennél a változatnál azonos, mert mindkettő az átlagolt halandóság, az m feltételes valószínűségek az ≠ esetben eltérnek egymástól.)

A fentiek alapján kiszámítható várható élettartamokat: a két életre szóló járadék várható tartamát, illetve a feleség és a férj várható továbbélési idejét ( , és ) közli a mellékelt F2. táblázat az 1998. évi tényleges, az F3. táblázat az átlagolt halandóság alapján ( , és ) a házastársak életkora szerint egy 10-10 éves életkortartományon.